Отношение на обиколката към диаметъра | Формула на Пи
Съотношението на обиколката към диаметъра е равно на π (3.14159) за всяко кръг. Научете формулата C/d = π, примери за изчисления и историята на числото пи.
Съотношението на обиколката към диаметъра (C/d) е равно на π (пи), приблизително 3.14159265358979. Това съотношение остава постоянно за всяка окръжност, независимо от размера ѝ. Формулата C/d = π предоставя 3 начина за изчисление: да се намери обиколката от диаметъра (C = πd), да се намери диаметърът от обиколката (d = C/π), или да се изрази самото съотношение (π = C/d). Древните цивилизации — включително Древен Египет, Древна Вавилония и Древна Индия — приближавали тази стойност векове преди Архимед, Ойлер и съвременните компютри да я уточнят до трилиони десетични знаци. Тази статия разглежда определението, формулата, стъпка по стъпка метод на изчисление, разгледани примери и историческото пътешествие на съотношението обиколка диаметър.
Какво е съотношението между обиколката и диаметъра?
Съотношението между обиколката и диаметъра описва как общото разстояние около кръг се отнася до правата линия, минаваща през неговия център. Обиколката, делена на диаметъра, винаги дава една и съща стойност: π ≈ 3.14159.
Определение на обиколка
Обиколката (C) е общото разстояние около външната граница на кръга. Формулата за обиколка е C = 2πr, където r е радиусът на кръга. Обиколката се измерва в стандартни единици за дължина като сантиметри (см), метри (м) или инчове (in).
Определение на диаметър
Диаметърът (d) е прав сегмент, който минава през центъра на кръга и свързва 2 точки на неговата граница. Диаметърът е равен на два пъти радиуса: d = 2r. Диаметърът използва същите единици за дължина като обиколката.
Какво е обиколка, делена на диаметър?
Обиколката, делена на диаметъра (C/d), винаги е равна на π. Това означава, че обиколката на всеки кръг е точно π пъти диаметъра му — връзка, която важи за кръгове с всякакъв размер. Съотношението обиколка към диаметър е евклидова геометрична константа, която определя основното математическо понятие, свързващо периметъра на кръга с неговата ширина.
Какво е съотношението между обиколката и диаметъра на окръжността?
Съотношението на обиколката към диаметъра на окръжността винаги е постоянно — то е равно на π за всеки кръг, независимо от размера. Тази геометрична мащабна инвариантност означава, че когато окръжността се мащабира нагоре или надолу, както обиколката, така и диаметърът нарастват или свиват пропорционално, като коефициентът им остава фиксиран на π.
И двата реда дават един и същ резултат, защото обиколката и диаметърът поддържат фиксирана пропорционална връзка. Кръг с диаметър 2 см има обиколка 6,28 см. Кръг, 5 пъти по-широк — с диаметър 10 см — има обиколка от 31,42 см. Съотношението C ÷ d е равно на 3.14 и в двата случая.
Пи (π) е трансцендентално ирационално число със стойност 3.1415926535... Десетичното му разширение никога не свършва и не се повтаря. Pi не може да се изрази като дроб от 2 цели числа, което го прави ирационален. Pi не може да бъде корен на всяко полиномиално уравнение с цели коефициенти, което го прави трансцендентално — по-силно условие от ирационалността.
Формула за съотношението на обиколката към диаметъра
Основната формула за съотношението на обиколката към диаметъра е:
C / d = π
Тази формула има 3 алгебрични пренареждания:
- C = π × d — намиране на обиколката от диаметъра
- d = C / π — намиране на диаметъра от обиколката
- π = C / d — изразяване на самото съотношение
В тези формули C представлява обиколката в каквато и да е последователна единица (сантиметри, метри, инчове или футове), d представлява диаметъра в същата единица, а π ≈ 3.14159265358979.
Използвайте d = 2r първо, за да конвертирате от радиус (r) към диаметър, ако е известен само радиусът. След това приложете някоя от трите форми на формулата по-горе.
Как да намерим отношението на обиколката към диаметъра
Следвайте тези 4 стъпки, за да намерите отношението на обиколката към диаметъра:
- Измерете обиколката (C) — увийте гъвкава мерителна лента около външната граница на кръга, за да получите общото разстояние около кръга
- Измерете диаметъра (d) — измерете правата линия, преминаваща през центъра на кръга от единия край до противоположния край
- Разделете C на d — извършете делението C ÷ d
- Потвърдете, че резултатът е равен на π — отговорът винаги е π ≈ 3.14159 за всеки кръг
Умножете радиуса по 2, за да получите диаметъра, ако е известен само радиусът. След това продължете от Стъпка 2.
Съотношение на обиколката към диаметъра — Решени примери
Пример 1 — Намиране на обиколка от диаметъра
Дадено: d = 10 см (3.94 инча)
Формула: C = π × d
Решение: C = 3.14159 × 10
Отговор: C ≈ 31.42 см (12.37 инча)
Пример 2 — Намиране на диаметър от обиколка
Дадено: C = 31.4 см (12.36 инча)
Формула: d = C / π
Решение: d = 31.4 / 3.14159
Отговор: d ≈ 10 см (3.94 инча)
Пример 3 — Намиране на съотношението, започвайки от радиус
Дадено: r = 7 м (22.97 фута)
Стъпка 1: d = 2 × 7 = 14 м (45.93 фута)
Стъпка 2: C = π × 14 ≈ 43.98 м (144.29 фута)
Отговор: Съотношение = 43.98 / 14 ≈ 3.14 (π)
Пример 4 — Приложение в реалния свят (Велосипедно колело)
Дадено: Велосипедно колело с диаметър 26 инча (66.04 см)
Формула: C = π × d
Решение: C = 3.14159 × 26
Отговор: C ≈ 81.68 инча (207.47 см) на пълно завъртане
Велосипедно колело с диаметър 26 инча изминава приблизително 81.68 инча по земята при всяко пълно завъртане. Това демонстрира как константата π, свързана с обиколката и диаметъра, свързва размера на колелото с разстоянието, което то изминава.
История на Pi — как древните цивилизации са апроксимирали съотношението
Съотношението на обиколката към диаметъра се изучава повече от 4 000 години.
Древен Египет (~1650 пр.н.е.) приближава π като приблизително 3.16, използвайки метод, който сравнява площта на кръг с тази на редовен осмоъгълник.
Древна Вавилония (~1900 пр.н.е.) използва приближения на π за практически геометрични изчисления, достигайки стойности близо до 3.125.
Архимед (~250 пр.н.е.) от Гърция създава първата строга математическа граница за π в своята работа "Kyklu metresis" (Измерване на окръжност). Архимед е ограничил π между 3 10/71 и 3 1/7 (между 3.1408 и 3.1429) чрез надписване и оградяване на 96-стенни многоъгълници около кръг
.Древна Индия е използвала стойности като √10 ≈ 3.1622776 за π в ранните математически текстове.
Китай е дал приближения, включително дроб 355/113 ≈ 3.1415929, което е точно до 6 десетични
знака.Япония (период Едо): Jinkoki (1627) от Йошида Мицуйоши използва 3.16 за π. Тъй като математиците осъзнават, че тази стойност липсва на точност, областта на Енри (теорията на кръговете) се развива. Учени от Васан — Мурамацу Шигекийо, Секи Такаказу, Камата Тошикийо, Такебе Катахиро и Мацунага Йошисуке — изчисляват все по-точни стойности на π чрез методи, включително техники Санкей, Какуджуцу и Кайхо, документирани в Санпо шоджо, Хоен санкей и Кошиген коутеи (достъпни в дигиталните колекции на NDL).
Европа: Франсоа Виет (1540–1603) открива първата формула, изразяваща π като безкрайно произведение. Уолис, Грегъри, Лайбниц, Нютон, Ойлер и Дж. Машин допринесоха с серии и формули, които се сближават по-бързо, позволявайки изчисляване на повече десетични числа.
Съвременни изчисления: π вече е изчислено до над 100 трилиона десетични числа от компютрите, потвърждавайки безкрайното десетично разлагане на тази константа на Архимедовата окръжност
.Защо отношението на обиколката към диаметъра винаги е Пи?
Пи (π) е ирационално число, защото не може да бъде изразено като дроб от 2 цели числа. Отношението C/d = π е постоянно за всяка окръжност — но тази константа се оказва ирационално число. За да бъде едно отношение постоянно, не е необходимо константата да е рационална. Стойността 3.1415926535... е фиксирана и неизменна, дори и разширението й в десетичен вид да няма край и да няма повтарящ се шаблон.
Често срещан въпрос е: „Променя ли се отношението при елипса?“ Отговорът е не — отношението C/d = π се отнася само за окръжности. Елипсите имат различна формула за периметъра, включваща както полуосите, така и тяхното съотношение на периметъра към широчината варира в зависимост от ексцентрицитета на елипсата.
Пи е трансцендентно число. Това означава, че π не е корен на никакво полиномиално уравнение с цели коефициенти — математическо свойство, по-силно от ирационалността. Трансцендентността на π беше доказана от Фердинанд фон Линдеман през 1882 г., което разреши древния проблем за квадрирането на кръга като невъзможен.
Често задавани въпроси
В: Как се нарича отношението на обиколката към диаметъра?
Отношението на обиколката към диаметъра се нарича пи, обозначавано с гръцкия символ π. Неговата стойност е приблизително 3.14159265358979.
В: Винаги ли е постоянно отношението на обиколката към диаметъра?
Да. Отношението на обиколката към диаметъра е равно на π за всяка окръжност, независимо от нейния размер. Това постоянство е определящо свойство на Евклидовата геометрия.
В: Каква е формулата за отношението на обиколката към диаметъра?
Формулата е C/d = π, където C е обиколката, а d е диаметърът. Тази формула може да се пренареди като C = π × d или d = C / π.
В: Вярно или невярно е, че отношението на обиколката към диаметъра винаги е π?
Вярно. За всяка окръжност C, разделено на d, винаги е равно на π ≈ 3.14159.
В: Как се различава отношението на обиколката към диаметъра от отношението на обиколката към радиуса?
C/d = π. C/r = 2π. Отношението на обиколката към радиуса е точно два пъти отношението на обиколката към диаметъра, защото d = 2r.
В: Кой символ обозначава отношението на обиколката към диаметъра?
Гръцката буква π (пи) обозначава отношението на обиколката към диаметъра. Символът е използван за първи път от уелския математик Уилям Джоунс през 1706 г. и по-късно популяризиран от Ойлер.
Заключение
Съотношението на обиколката към диаметъра е равно на π ≈ 3.14159 за всяка окръжност. Трите форми на формулата — C = πd, d = C/π и π = C/d — позволяват изчисляване на всяка неизвестна стойност, когато е дадена една стойност. От осмоъгълната аппроксимация на 3.16 в Древен Египет до метода на многоъгълниците на Архимед и над 100 трилиона изчислени десетични места, съотношението обиколка-диаметър е движело математическите открития вече повече от 4000 години. Познаването на C/d = π позволява директно изчисление на обиколката или диаметъра за всяка окръжност, правейки тази константа една от най-практично полезните числа в геометрията и инженерството.