Отношение на обиколката към диаметъра | Формула на Пи
Съотношението на обиколката към диаметъра е равно на π (3.14159) за всяко кръг. Научете формулата C/d = π, примери за изчисления и историята на числото пи.
Съотношението на обиколката към диаметъра (C/d) е равно на π (пи), приблизително 3.14159265358979. Това съотношение остава постоянно за всяка окръжност, независимо от размера ѝ. Формулата C/d = π предоставя 3 начина за изчисление: да се намери обиколката от диаметъра (C = πd), да се намери диаметърът от обиколката (d = C/π), или да се изрази самото съотношение (π = C/d). Древните цивилизации, включително Древен Египет, Древна Вавилония и Древна Индия, приближавали тази стойност векове преди Архимед, Ойлер и съвременните компютри да я уточнят до трилиони десетични знаци. Тази статия разглежда определението, формулата, стъпка по стъпка метод на изчисление, разгледани примери и историческото пътешествие на съотношението обиколка диаметър.
Какво е съотношението между обиколката и диаметъра?
Съотношението между обиколката и диаметъра описва как общото разстояние около кръг се отнася до правата линия, минаваща през неговия център. Обиколката, делена на диаметъра, винаги дава една и съща стойност: π ≈ 3.14159.
Определение на обиколка
Обиколката (C) е общото разстояние около външната граница на кръга. Формулата за обиколка е C = 2πr, където r е радиусът на кръга. Обиколката се измерва в стандартни единици за дължина като сантиметри (см), метри (м) или инчове (in).
Определение на диаметър
Диаметърът (d) е прав сегмент, който минава през центъра на кръга и свързва 2 точки на неговата граница. Диаметърът е равен на два пъти радиуса: d = 2r. Диаметърът използва същите единици за дължина като обиколката.
Какво е обиколка, делена на диаметър?
Обиколката, делена на диаметъра (C/d), винаги е равна на π. Това означава, че обиколката на всеки кръг е точно π пъти диаметъра му, връзка, която важи за кръгове с всякакъв размер. Съотношението обиколка към диаметър е евклидова геометрична константа, която определя основното математическо понятие, свързващо периметъра на кръга с неговата ширина.
Какво е съотношението между обиколката и диаметъра на окръжността?
Съотношението на обиколката към диаметъра на окръжността винаги е постоянно, то е равно на π за всеки кръг, независимо от размера. Тази геометрична мащабна инвариантност означава, че когато окръжността се мащабира нагоре или надолу, както обиколката, така и диаметърът нарастват или свиват пропорционално, като коефициентът им остава фиксиран на π.
И двата реда дават един и същ резултат, защото обиколката и диаметърът поддържат фиксирана пропорционална връзка. Кръг с диаметър 2 см има обиколка 6,28 см. Кръг, 5 пъти по-широк, с диаметър 10 см, има обиколка от 31,42 см. Съотношението C ÷ d е равно на 3.14 и в двата случая.
Пи (π) е трансцендентално ирационално число със стойност 3.1415926535... Десетичното му разширение никога не свършва и не се повтаря. Pi не може да се изрази като дроб от 2 цели числа, което го прави ирационален. Pi не може да бъде корен на всяко полиномиално уравнение с цели коефициенти, което го прави трансцендентално, по-силно условие от ирационалността.
Формула за съотношението на обиколката към диаметъра
Основната формула за съотношението на обиколката към диаметъра е:
C / d = π
Тази формула има 3 алгебрични пренареждания:
- C = π × d, намиране на обиколката от диаметъра
- d = C / π, намиране на диаметъра от обиколката
- π = C / d, изразяване на самото съотношение
В тези формули C представлява обиколката в каквато и да е последователна единица (сантиметри, метри, инчове или футове), d представлява диаметъра в същата единица, а π ≈ 3.14159265358979.
Използвайте d = 2r първо, за да конвертирате от радиус (r) към диаметър, ако е известен само радиусът. След това приложете някоя от трите форми на формулата по-горе.
Как да намерим отношението на обиколката към диаметъра
Следвайте тези 4 стъпки, за да намерите отношението на обиколката към диаметъра:
- Измерете обиколката (C), увийте гъвкава мерителна лента около външната граница на кръга, за да получите общото разстояние около кръга
- Измерете диаметъра (d), измерете правата линия, преминаваща през центъра на кръга от единия край до противоположния край
- Разделете C на d, извършете делението C ÷ d
- Потвърдете, че резултатът е равен на π, отговорът винаги е π ≈ 3.14159 за всеки кръг
Умножете радиуса по 2, за да получите диаметъра, ако е известен само радиусът. След това продължете от Стъпка 2.
Съотношение на обиколката към диаметъра, Решени примери
Пример 1, Намиране на обиколка от диаметъра
Дадено: d = 10 см (3.94 инча)
Формула: C = π × d
Решение: C = 3.14159 × 10
Отговор: C ≈ 31.42 см (12.37 инча)
Пример 2, Намиране на диаметър от обиколка
Дадено: C = 31.4 см (12.36 инча)
Формула: d = C / π
Решение: d = 31.4 / 3.14159
Отговор: d ≈ 10 см (3.94 инча)
Пример 3, Намиране на съотношението, започвайки от радиус
Дадено: r = 7 м (22.97 фута)
Стъпка 1: d = 2 × 7 = 14 м (45.93 фута)
Стъпка 2: C = π × 14 ≈ 43.98 м (144.29 фута)
Отговор: Съотношение = 43.98 / 14 ≈ 3.14 (π)
Пример 4, Приложение в реалния свят (Велосипедно колело)
Дадено: Велосипедно колело с диаметър 26 инча (66.04 см)
Формула: C = π × d
Решение: C = 3.14159 × 26
Отговор: C ≈ 81.68 инча (207.47 см) на пълно завъртане
Велосипедно колело с диаметър 26 инча изминава приблизително 81.68 инча по земята при всяко пълно завъртане. Това демонстрира как константата π, свързана с обиколката и диаметъра, свързва размера на колелото с разстоянието, което то изминава.
История на Pi, как древните цивилизации са апроксимирали съотношението
Съотношението на обиколката към диаметъра се изучава повече от 4 000 години.
Древен Египет (~1650 пр.н.е.) приближава π като приблизително 3.16, използвайки метод, който сравнява площта на кръг с тази на редовен осмоъгълник.
Древна Вавилония (~1900 пр.н.е.) използва приближения на π за практически геометрични изчисления, достигайки стойности близо до 3.125.
Архимед (~250 пр.н.е.) от Гърция създава първата строга математическа граница за π в своята работа "Kyklu metresis" (Измерване на окръжност). Архимед е ограничил π между 3 10/71 и 3 1/7 (между 3.1408 и 3.1429) чрез надписване и оградяване на 96-стенни многоъгълници около кръг
.Древна Индия е използвала стойности като √10 ≈ 3.1622776 за π в ранните математически текстове.
Китай е дал приближения, включително дроб 355/113 ≈ 3.1415929, което е точно до 6 десетични
знака.Япония (период Едо): Jinkoki (1627) от Йошида Мицуйоши използва 3.16 за π. Тъй като математиците осъзнават, че тази стойност липсва на точност, областта на Енри (теорията на кръговете) се развива. Учени от Васан, Мурамацу Шигекийо, Секи Такаказу, Камата Тошикийо, Такебе Катахиро и Мацунага Йошисуке, изчисляват все по-точни стойности на π чрез методи, включително техники Санкей, Какуджуцу и Кайхо, документирани в Санпо шоджо, Хоен санкей и Кошиген коутеи (достъпни в дигиталните колекции на NDL).
Европа: Франсоа Виет (1540–1603) открива първата формула, изразяваща π като безкрайно произведение. Уолис, Грегъри, Лайбниц, Нютон, Ойлер и Дж. Машин допринесоха с серии и формули, които се сближават по-бързо, позволявайки изчисляване на повече десетични числа.
Съвременни изчисления: π вече е изчислено до над 100 трилиона десетични числа от компютрите, потвърждавайки безкрайното десетично разлагане на тази константа на Архимедовата окръжност
.Защо отношението на обиколката към диаметъра винаги е Пи?
Пи (π) е ирационално число, защото не може да бъде изразено като дроб от 2 цели числа. Отношението C/d = π е постоянно за всяка окръжност, но тази константа се оказва ирационално число. За да бъде едно отношение постоянно, не е необходимо константата да е рационална. Стойността 3.1415926535... е фиксирана и неизменна, дори и разширението й в десетичен вид да няма край и да няма повтарящ се шаблон.
Често срещан въпрос е: „Променя ли се отношението при елипса?“ Отговорът е не, отношението C/d = π се отнася само за окръжности. Елипсите имат различна формула за периметъра, включваща както полуосите, така и тяхното съотношение на периметъра към широчината варира в зависимост от ексцентрицитета на елипсата.
Пи е трансцендентно число. Това означава, че π не е корен на никакво полиномиално уравнение с цели коефициенти, математическо свойство, по-силно от ирационалността. Трансцендентността на π беше доказана от Фердинанд фон Линдеман през 1882 г., което разреши древния проблем за квадрирането на кръга като невъзможен.
Често задавани въпроси
В: Как се нарича отношението на обиколката към диаметъра?
Отношението на обиколката към диаметъра се нарича пи, обозначавано с гръцкия символ π. Неговата стойност е приблизително 3.14159265358979.
В: Винаги ли е постоянно отношението на обиколката към диаметъра?
Да. Отношението на обиколката към диаметъра е равно на π за всяка окръжност, независимо от нейния размер. Това постоянство е определящо свойство на Евклидовата геометрия.
В: Каква е формулата за отношението на обиколката към диаметъра?
Формулата е C/d = π, където C е обиколката, а d е диаметърът. Тази формула може да се пренареди като C = π × d или d = C / π.
В: Вярно или невярно е, че отношението на обиколката към диаметъра винаги е π?
Вярно. За всяка окръжност C, разделено на d, винаги е равно на π ≈ 3.14159.
В: Как се различава отношението на обиколката към диаметъра от отношението на обиколката към радиуса?
C/d = π. C/r = 2π. Отношението на обиколката към радиуса е точно два пъти отношението на обиколката към диаметъра, защото d = 2r.
В: Кой символ обозначава отношението на обиколката към диаметъра?
Гръцката буква π (пи) обозначава отношението на обиколката към диаметъра. Символът е използван за първи път от уелския математик Уилям Джоунс през 1706 г. и по-късно популяризиран от Ойлер.
Заключение
Съотношението на обиколката към диаметъра е равно на π ≈ 3.14159 за всяка окръжност. Трите форми на формулата, C = πd, d = C/π и π = C/d, позволяват изчисляване на всяка неизвестна стойност, когато е дадена една стойност. От осмоъгълната аппроксимация на 3.16 в Древен Египет до метода на многоъгълниците на Архимед и над 100 трилиона изчислени десетични места, съотношението обиколка-диаметър е движело математическите открития вече повече от 4000 години. Познаването на C/d = π позволява директно изчисление на обиколката или диаметъра за всяка окръжност, правейки тази константа една от най-практично полезните числа в геометрията и инженерството.